热学与振动精讲

§5-1平衡态与理想气体状态方程

平衡态：不是“分子不动”，而是“统计上不变”

平衡态：系统不受外界影响（不和外界交换物质和能量），经过足够长时间后，宏观性质不再随时间变化的状态。分子其实一直在剧烈运动，只是平均值不变，所以也叫热动平衡。一定量气体的平衡态可以用一组状态参量 \((p,V,T)\) 描述，在 \(p\)-\(V\) 图上就是一个点。

准静态过程：过程进行得足够慢，每个中间状态都无限接近平衡态。只有准静态过程才能在 \(p\)-\(V\) 图上画成一条连续曲线；非准静态过程中间态没有确定的 \(p\)、\(T\)，只能标出始末两点。

状态参量

• 体积 \(V\)：分子能到达的空间（不是分子本身的体积）。
• 压强 \(p\)：大量分子撞击器壁的宏观表现。\(1\,\text{atm}=760\,\text{mmHg}=1.013\times10^5\,\text{Pa}\)。
• 温度 \(T\)：宏观上表示冷热，微观上表示热运动的剧烈程度。\(t/{}^\circ\text{C}=T/\text{K}-273.15\)。

状态方程的两种写法

把摩尔数换成分子数 \(\nu=N/N_A\)：\(pV=\dfrac{N}{N_A}RT\Rightarrow p=\dfrac NV\cdot\dfrac R{N_A}T\)，于是

§5-2理想气体的微观模型

为了从分子算出压强，需要先约定“理想气体分子长什么样”。两组假设：

由各向同性立刻得到两个结论，后面推压强要用：

第二式的理由：\(v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2\)，三个方向地位完全相同，平分 \(\overline{v^2}\)。

§5-3压强公式与温度的微观意义

压强公式推导（四步，跟着走一遍就不怕）

边长为 \(l_1,l_2,l_3\) 的长方体容器里有 \(N\) 个分子，每个质量 \(m_0\)。盯住垂直于 \(x\) 轴的器壁 \(A_1\)（面积 \(l_2l_3\)）。

1. 撞一次给墙的冲量：分子 \(i\) 以 \(v_{ix}\) 撞墙后弹性反弹成 \(-v_{ix}\)，动量变化 \(2m_0v_{ix}\)，墙受到的冲量就是 \(2m_0v_{ix}\)。
2. 单位时间撞几次：撞一次后要跑到对面再回来，路程 \(2l_1\)，用时 \(2l_1/v_{ix}\)，所以每秒撞 \(\dfrac{v_{ix}}{2l_1}\) 次。
3. 一个分子对墙的平均力：每秒冲量 \(=2m_0v_{ix}\cdot\dfrac{v_{ix}}{2l_1}=\dfrac{m_0v_{ix}^2}{l_1}\)。
4. 所有分子加起来再除以面积： \[ p=\frac{F}{l_2l_3}=\frac{m_0}{l_1l_2l_3}\sum_{i=1}^Nv_{ix}^2=\frac{Nm_0}{V}\,\overline{v_x^2}=nm_0\overline{v_x^2}=\frac13nm_0\overline{v^2} \]

引入分子平均平动动能 \(\bar\varepsilon_k=\frac12m_0\overline{v^2}\)，得到本章第一个核心公式：

温度的本质

把 \(p=\frac23n\bar\varepsilon_k\) 和 \(p=nkT\) 放在一起，\(n\) 约掉：

温度就是分子平均平动动能的量度，而且与气体种类无关：同温度下，氢分子和氧分子的平均平动动能完全一样（只是氢分子轻，跑得更快）。单个分子“有温度”是没有意义的。

方均根速率

§5-4能量均分定理与理想气体内能

自由度 \(i\)：确定位置需要几个独立坐标

如果分子不是刚性的，还要考虑振动自由度 \(s\)，每个振动自由度既有动能又有势能，各 \(\frac12kT\)，共 \(kT\)。本课程题目一般说“刚性分子”或“不计振动”。

能量按自由度均分定理

平动动能已经知道是 \(\frac32kT\)，三个方向平分，每个方向 \(\frac12kT\)。分子间不断碰撞、随机交换能量，没有哪个自由度更特殊，于是推广为：

理想气体内能

理想气体分子间无相互作用，没有势能，内能就是所有分子热运动能量之和：

§5-5麦克斯韦速率分布律

统计规律：伽耳顿板的启发

一颗小球从钉板落下，落进哪个槽完全偶然；但成千上万颗小球落下，各槽的球数分布每次都几乎一样。这就是统计规律：个体偶然，整体必然，而且总伴随着小的涨落。气体分子速率也一样：某个分子速率是多少说不准，但“速率在某个范围内的分子占多少比例”是确定的。

速率分布函数 \(f(v)\)：这是最容易糊涂的地方

类比全班身高统计：把身高分成很窄的区间，统计每个区间人数占全班的比例，再除以区间宽度，就是“身高分布函数”。\(f(v)\) 是速率在 \(v\) 附近单位速率区间内的分子数占总数的比例，也就是概率密度。它本身不是比例，乘上 \(\mathrm dv\) 才是。

麦克斯韦速率分布函数

不用背系数，抓住形状：\(v^2\) 让曲线从 0 开始上升，\(\mathrm e^{-m_0v^2/2kT}\) 让它在高速段迅速衰减，所以中间有一个峰。速率很大或很小的分子都很少。峰对应的速率叫最概然速率 \(v_p\)：在相同的速率间隔内，速率处在 \(v_p\) 附近的分子最多。

三种统计速率

大小顺序 \(v_p\lt\bar v\lt\sqrt{\overline{v^2}}\)，三者都 \(\propto\sqrt{T/M}\)。记忆口诀：“2、8/π、3”。

*§5-6玻耳兹曼分布：重力场中分子按高度分布

没有外力场时，分子在空间均匀分布，按速度服从麦克斯韦分布。有外力场（比如重力）时，重力想把分子都拉到底部，热运动想把它们打散，二者达到平衡，形成一个稳定的分布：

读法：势能 \(E_p\) 越高的地方分子越少，按指数衰减；温度越高，衰减越慢，分布越均匀。完整写法是 \(\mathrm dN=n_0\mathrm e^{-E_p/kT}\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz\)。

重力场 \(E_p=m_0gz\)，结合 \(p=nkT\) 得到等温气压公式：

最后一式就是用气压计测高度的原理。

§5-7分子碰撞与平均自由程

分子速率几百米每秒，可是打开香水瓶，香味要好一会儿才传过来。原因是分子不停碰撞，走的是曲折的折线。描述碰撞的两个量：

• 平均碰撞频率 \(\bar Z\)：1 秒内一个分子平均碰撞多少次。
• 平均自由程 \(\bar\lambda\)：两次碰撞之间平均走多远。显然 \(\bar\lambda=\bar v/\bar Z\)。

推导：跟踪一个分子扫过的“圆柱”

先假设只有被跟踪的分子以 \(\bar v\) 运动，其他分子不动。分子有效直径为 \(d\)，凡是中心离它的路径小于 \(d\) 的分子都会被撞到。所以它在时间 \(t\) 内扫过一个半径为 \(d\)（不是 \(d/2\)）、长 \(\bar vt\) 的曲折圆柱，体积 \(\pi d^2\bar vt\)，里面有 \(n\pi d^2\bar vt\) 个分子，每个撞一次。实际上其他分子也在动，应该用平均相对速率 \(\bar u=\sqrt2\,\bar v\) 代替 \(\bar v\)：

*§5-9真实气体与范德瓦尔斯方程

低温高压下，真实气体偏离理想气体（如 CO₂ 等温线：临界等温线以上是气态，以下出现液化区）。原因就是理想模型忽略的两件事，范德瓦尔斯各补一项：

1. 分子有大小：分子能自由活动的空间比容器小，\(V_m\to V_m-b\)。\(b\) 约为 1 mol 分子自身总体积的 4 倍。
2. 分子间有引力：靠近器壁的分子被内部分子往回拉，撞墙变弱，测得的压强比理想值小一个内压强 \(p_i\)。\(p_i\) 既正比于撞墙的分子数，又正比于拉它的分子数，所以 \(\propto n^2\propto1/V_m^2\)，写成 \(a/V_m^2\)。

压强不太高（\(\lt500\) atm）、温度不太低时，它是很好的近似。

课件作业：习题 5-2、3、4、5；5-6、8、10、11；5-16、17、18、19；5-21、26（程守洙《普通物理学》第8版）。

§6-1功、热量、内能与热力学第一定律

第零定律：A、B 分别和 C 热平衡，则 A、B 也热平衡。它保证了“温度”这个量存在，温度计就是那个 C。

准静态过程的两个例子：气体从非平衡恢复到平衡的时间（弛豫时间）约 \(10^{-4}\) s，活塞慢慢推就近似准静态；传热时让系统依次接触温度只差 \(\mathrm dT\) 的一系列热源，就是准静态传热，直接接触有限温差的热源则不是。

三个量：一个状态量，两个过程量

• 功（宏观有序能量 ↔ 分子无序能量）：\(\mathrm dA=p\,\mathrm dV\)，\(A=\int_{V_1}^{V_2}p\,\mathrm dV\)，等于 \(p\)-\(V\) 图上过程曲线下的面积。膨胀为正，压缩为负。
• 热量 \(Q\)（无序能量 ↔ 无序能量）：通过温差传递的能量。
• 内能 \(E\)：状态量。理想气体 \(\Delta E=\nu C_{V,m}\Delta T\)，只看始末温度。

同样的始末两点，走不同路径，曲线下面积不同，所以 \(A\) 是过程量；\(\Delta E\) 相同，于是 \(Q\) 也随路径变，也是过程量。

热力学第一定律

第一定律否定了第一类永动机（不吸热、不消耗内能却不断对外做功的机器）。

§6-2第一定律用于理想气体的四个基本过程

每个过程都按同一个套路分析：特征 → 过程方程 → \(A\) → \(\Delta E\) → \(Q=\Delta E+A\)。始终记得：任何过程都有 \(\Delta E=\nu C_{V,m}\Delta T\)。

1. 等体过程（\(V\) 不变）

\(\mathrm dV=0\Rightarrow A=0\)，\(p/T=\)常量。吸的热全部用来增加内能：\(Q_V=\Delta E=\nu C_{V,m}\Delta T\)。

由此定义摩尔定体热容：1 mol 气体等体升高 1 K 吸的热。由 \(\mathrm dE=\nu\frac i2R\,\mathrm dT\) 得

2. 等压过程（\(p\) 不变）

\(V/T=\)常量。\(A=p(V_2-V_1)=\nu R\Delta T\)，\(\Delta E=\nu C_{V,m}\Delta T\)，\(Q_p=\nu(C_{V,m}+R)\Delta T\)。吸的热一部分增加内能，一部分对外做功。

为什么 \(C_p\gt C_V\)：同样升温 1 K，内能增加一样多，但等压时气体还要膨胀对外做功 \(R\)（每摩尔），所以要多吸 \(R\) 的热。

3. 等温过程（\(T\) 不变）

\(pV=\)常量，\(\Delta E=0\)，吸的热全部用来做功：

4. 绝热过程（\(Q=0\)）

不吸热，对外做功只能靠消耗内能：\(A=-\Delta E=\nu C_{V,m}(T_1-T_2)\)。绝热膨胀降温，绝热压缩升温（打气筒发热就是这个）。

绝热方程的推导（理解即可）：由 \(\mathrm dQ=0\) 得 \(\nu C_{V,m}\mathrm dT=-p\,\mathrm dV\)；对 \(pV=\nu RT\) 微分得 \(p\,\mathrm dV+V\mathrm dp=\nu R\,\mathrm dT\)。消去 \(\mathrm dT\)：\(C_{V,m}(p\,\mathrm dV+V\mathrm dp)=-Rp\,\mathrm dV\)，即 \(C_{p,m}p\,\mathrm dV+C_{V,m}V\mathrm dp=0\)，两边除以 \(C_{V,m}pV\)：\(\gamma\frac{\mathrm dV}V+\frac{\mathrm dp}p=0\)，积分得

绝热功的另一常用形式（把 \(\nu RT=pV\) 代入）：

绝热线比等温线陡：在交点处，等温线斜率 \(\frac{\mathrm dp}{\mathrm dV}=-\frac pV\)，绝热线斜率 \(-\gamma\frac pV\)，\(\gamma\gt1\)。微观解释：等温膨胀时压强下降只因为 \(n\) 变小；绝热膨胀时 \(n\) 变小，同时温度也下降（\(\bar\varepsilon_k\) 变小），由 \(p=\frac23n\bar\varepsilon_k\) 两个因素一起降，所以降得更快。

总表（考前必背）

§6-2 续多方过程与几道综合题

多方过程：把四个过程统一起来

\(n=0\) 等压（\(C_{n,m}=C_{p,m}\)）；\(n=1\) 等温（\(C=\infty\)，功用对数式）；\(n=\gamma\) 绝热（\(C=0\)）；\(n=\infty\) 等体（\(C=C_{V,m}\)）。

§6-3循环过程与卡诺循环

循环：回到起点，内能不变

系统经一系列过程回到初态，\(\Delta E=0\)，所以净吸热 = 净功 = 循环曲线围成的面积。

• 正循环（\(p\)-\(V\) 图上顺时针）= 热机，把热变成功：从高温热源吸热 \(Q_1\)，向低温热源放热 \(|Q_2|\)，对外做净功 \(A=Q_1-|Q_2|\)。
• 逆循环（逆时针）= 制冷机，外界做功 \(A\)，从低温处吸热 \(Q_2\)，向高温处放热 \(|Q_1|=Q_2+A\)。

卡诺循环

由两条等温线和两条绝热线组成：a→b 在 \(T_1\) 等温膨胀吸热，b→c 绝热膨胀降到 \(T_2\)，c→d 在 \(T_2\) 等温压缩放热，d→a 绝热压缩回 \(T_1\)。只用两个热源、没有耗散，是理想循环。

效率推导：\(Q_1=\nu RT_1\ln\frac{V_b}{V_a}\)，\(|Q_2|=\nu RT_2\ln\frac{V_c}{V_d}\)。两条绝热线：\(T_1V_b^{\gamma-1}=T_2V_c^{\gamma-1}\)，\(T_1V_a^{\gamma-1}=T_2V_d^{\gamma-1}\)，相除得 \(\frac{V_b}{V_a}=\frac{V_c}{V_d}\)，对数项约掉：

卡诺效率只与两热源温度有关，与工作物质无关；温差越大效率越高，但不可能达到 1（需要 \(T_2=0\) 或 \(T_1=\infty\)）。

§6-4热力学第二定律

第一定律只说能量守恒，但满足能量守恒的过程不一定会发生：热水不会自己变得更热而让旁边的冷水更冷。第二定律说的就是方向。

两种表述等价：假如开尔文表述不成立，就能用单热源热机把热全变成功，再用这个功驱动制冷机从低温吸热送到高温。整体看，只有热量从低温跑到了高温，没有别的变化，克劳修斯表述也不成立。反过来同理。

§6-5可逆过程、不可逆过程与卡诺定理

可逆过程：每一步都能沿反方向进行，并且系统和外界都能完全复原。条件是：准静态 + 无耗散（无摩擦等）。它是理想过程。

实际过程都不可逆，因为总伴随耗散或不平衡：

• 热传导（有限温差）：热只会自发从高温传向低温；
• 功变热（摩擦）：刹车生热很自然，烤车轮不会让车跑起来；
• 气体自由膨胀：不会自己缩回去；扩散同理；
• 快速压缩（非准静态）：外界对气体做了净功并转化为热。

各种不可逆过程是相互关联的：只要一种的方向性消失，其他的也会消失（上面两种表述等价的证明就是一个例子）。所以第二定律的实质是：一切与热现象有关的自发宏观过程都是不可逆的。

§6-6熵

克劳修斯熵：从卡诺循环里“挖”出一个状态量

卡诺循环中 \(\frac{|Q_2|}{Q_1}=\frac{T_2}{T_1}\)。如果 \(Q_2\) 带上符号（放热为负），可以写成

\(Q/T\) 叫热温比。任何可逆循环都可以拆成无数个微小卡诺循环，相邻的绝热段互相抵消，于是 \(\oint_{\text{可逆}}\frac{\mathrm dQ}T=0\)。这说明沿可逆过程 \(\int\frac{\mathrm dQ}T\) 只与始末状态有关，与路径无关，存在一个状态函数，就是熵：

1 mol 理想气体从 \((T_1,V_1)\) 到 \((T_2,V_2)\)：设计 a→c 等压、c→b 等体（或任何可逆路径），结果都一样：

它来自热力学基本关系 \(T\,\mathrm dS=\mathrm dE+p\,\mathrm dV\)（第一定律 + 第二定律）：两边除以 \(T\)，\(\mathrm dS=\nu C_{V,m}\frac{\mathrm dT}T+\nu R\frac{\mathrm dV}V\)，积分即得。

玻耳兹曼熵：熵是无序程度

把容器分成左右两半，放 4 个分子 a、b、c、d，看它们的分布：

每个微观态出现的概率相等，所以包含微观态最多的宏观态（均匀分布）最可能出现。\(N\) 个分子全挤在左边的概率是 \((1/2)^N\)，\(N\sim10^{23}\) 时实际上为零。这就是自由膨胀不可逆的原因：不是“不可能”退回去，而是概率小到永远看不到。

\(\Omega\) 叫热力学概率，是无序程度的量度。玻耳兹曼定义

§6-7熵增加原理与第二定律的统计意义

熵与能量退化（带*）：孤立系统总能量守恒，但熵增意味着能量中能用来做功的部分越来越少。例如热量从 \(T_1\) 传到 \(T_2\) 后，再借助低温热源 \(T_0\) 能做的功从 \(\mathrm dQ(1-T_0/T_1)\) 降到 \(\mathrm dQ(1-T_0/T_2)\)，损失与熵增成正比。克劳修斯的总结：宇宙能量守恒，宇宙的熵趋于极大。“热寂说”把它推到整个宇宙，现代宇宙学认为宇宙在膨胀，可达的最大熵也在增大，宇宙离热寂反而越来越远。

热力学第三定律：不可能用有限的手段使物体冷却到绝对零度。

§10-1简谐振动的描述

\(T=2\pi\sqrt{m/k}\)，\(\nu=\frac1{2\pi}\sqrt{k/m}\)。相位每变 \(2\pi\)，运动状态重复一次；在一个 \(2\pi\) 内，不同相位对应不同状态。也可用复数表示 \(Ae^{i(\omega t+\varphi)}\)，取实部。

速度与加速度

三者同频率，振幅分别为 \(A\)、\(A\omega\)、\(A\omega^2\)。相位上 \(a\) 超前 \(v\) 超前 \(x\) 各 \(\frac\pi2\)（提前 \(T/4\)），\(a\) 与 \(x\) 反相。\(x\)-\(t\) 曲线的斜率就是速度。

由初始条件求 \(A\) 和 \(\varphi\)

\(t=0\)：\(x_0=A\cos\varphi\)，\(v_0=-A\omega\sin\varphi\)，解得

§10-1 续旋转矢量：振动题的万能工具

让长为 \(A\) 的矢量绕原点以 \(\omega\) 逆时针匀速转动，\(t\) 时刻与 \(x\) 轴夹角为 \(\omega t+\varphi\)。它的端点在 \(x\) 轴上的投影 \(x=A\cos(\omega t+\varphi)\)，正好就是简谐振动。

§10-1 续简谐振动的动力学与能量

把 \(a=-\omega^2x\) 写成 \(\ddot x+\omega^2x=0\)，这就是简谐振动的特征方程（二阶微分方程，需要两个初始条件，正好对应 \(A\) 和 \(\varphi\)）。反过来：

• 水平弹簧振子：\(F=-kx\)，\(\omega=\sqrt{k/m}\)。
• 竖直弹簧振子：平衡时 \(kl_0=mg\)。以平衡位置为原点，\(F=mg-k(l_0+x)=-kx\)，\(\omega\) 仍是 \(\sqrt{k/m}\)。重力只改变平衡位置，不改变频率。若以原长处为原点，方程里会多一个常数项，不是标准形式。
• 单摆：\(M=-mgl\sin\theta\approx-mgl\theta\)（小角度），\(I=ml^2\)，\(\omega=\sqrt{g/l}\)。

能量

动能和势能此消彼长，总机械能守恒、与 \(A^2\) 成正比；一个周期内平均动能 = 平均势能 = \(\frac12E\)。由起始能量可直接求振幅 \(A=\sqrt{2E_0/k}\)。

§10-2阻尼振动

实际振动会因空气阻力、摩擦、电阻等损耗能量。低速时阻力与速度成正比 \(f=-\gamma v\)：

临界阻尼的应用：电表指针、汽车减震器，希望尽快停稳又不来回晃。

§10-3受迫振动与共振

在周期性驱动力 \(F_0\cos\omega_dt\) 作用下：

解 = 衰减的阻尼振动 + 稳定的受迫振动。时间一长前者消失，只剩稳态 \(x=A\cos(\omega_dt+\varphi)\)：驱动力输入能量与阻尼消耗能量相等。

典型例子：1940 年美国塔科马海峡大桥在风激励下振幅越来越大，通车 4 个月后垮塌。

*§10-4电磁振荡与耦合振子

LC 电路：电容放电产生电流，电流在电感里建立磁场；电容放完后，电感维持电流把电容反向充电……电场能和磁场能来回转换。由 \(-L\frac{\mathrm di}{\mathrm dt}=\frac qC\)，\(i=\frac{\mathrm dq}{\mathrm dt}\)：

电流 \(i=-\omega Q_0\sin(\omega t+\varphi_0)=I_0\cos(\omega t+\varphi_0+\frac\pi2)\)，超前电荷 \(\frac\pi2\)。电场能 \(\frac{q^2}{2C}\) 与磁场能 \(\frac12Li^2\) 之和 \(\frac{Q_0^2}{2C}\) 守恒。

LRC 电路加电动势 \(\varepsilon_0\cos\omega_dt\) 做受迫振荡，电流振幅 \(I_0=\dfrac{\varepsilon_0}{\sqrt{R^2+(\omega_dL-\frac1{\omega_dC})^2}}\)。当 \(\omega_d=1/\sqrt{LC}\) 时电流最大 \(\varepsilon_0/R\)，叫电共振（收音机调台）。

耦合振子：两个质量 \(m\) 的振子各连一根 \(k\) 弹簧，中间用 \(K\) 弹簧相连。有两种简正模：同相振动 \(x_A=x_B\)，中间弹簧不伸缩，\(\omega_1=\sqrt{k/m}\)；反相振动 \(x_A=-x_B\)，\(\omega_2=\sqrt{(k+2K)/m}\)。简正模个数 = 自由度数；一般运动是简正模的叠加。

§10-5振动的合成

1. 同方向、同频率：用旋转矢量做矢量加法

\(x_1=A_1\cos(\omega t+\varphi_1)\)，\(x_2=A_2\cos(\omega t+\varphi_2)\)。两个旋转矢量以相同 \(\omega\) 转动，夹角不变，合矢量也以 \(\omega\) 转动，所以合振动仍是同频率的简谐振动。由平行四边形（余弦定理）：

• 同相 \(\Delta\varphi=2k\pi\)：\(A=A_1+A_2\)，加强。
• 反相 \(\Delta\varphi=(2k+1)\pi\)：\(A=|A_1-A_2|\)，减弱。

2. 同方向、频率相近：拍

两振动振幅都为 \(A\)，用和差化积：

合运动不是简谐振动，而是频率为平均值、振幅缓慢周期变化的振动，忽强忽弱，叫拍。振幅的绝对值以 \(|\nu_2-\nu_1|\) 的频率起伏，所以

旋转矢量理解：\(A_2\) 每秒比 \(A_1\) 多转 \(\nu_2-\nu_1\) 圈，两者每秒重合（加强）这么多次。调琴时听拍音消失就说明频率对准了。

3. 相互垂直的振动：椭圆与李萨如图形

\(x=A_1\cos(\omega t+\varphi_1)\)，\(y=A_2\cos(\omega t+\varphi_2)\)，消去 \(t\)：

一般是斜椭圆。记 \(\Delta\varphi=\varphi_2-\varphi_1\)：

• \(\Delta\varphi=0\)：直线 \(y=\frac{A_2}{A_1}x\)，在一、三象限；\(\Delta\varphi=\pi\)：直线在二、四象限。这时合运动是沿直线的简谐振动。
• \(\Delta\varphi=\pm\frac\pi2\)：正椭圆 \(\frac{x^2}{A_1^2}+\frac{y^2}{A_2^2}=1\)；若 \(A_1=A_2\) 则为圆。
• 转向：\(0\lt\Delta\varphi\lt\pi\)（\(y\) 超前）顺时针（右旋）；\(\pi\lt\Delta\varphi\lt2\pi\) 逆时针（左旋）。

频率成简单整数比时，轨迹是闭合曲线，叫李萨如图形，合振动周期 \(T=n_1T_1=n_2T_2\)。频率比是无理数时轨迹永不闭合，在 \(2A_1\times2A_2\) 的矩形内越描越密（准周期运动）。

*§10-6 ~ 10-8频谱、非线性振动与混沌

傅里叶分析：周期为 \(T\) 的任何振动都能分解为频率 \(\nu_0,2\nu_0,3\nu_0,\dots\) 的简谐振动之和（基频与各次谐频），频谱是分立的。例如方波 = 基频 + 3 次 + 5 次 + …… 谐波。非周期振动（如阻尼振动）分解为频率连续分布的简谐振动，频谱是连续的。课件的思考题：歌唱家“声音洪亮”指振幅（响度）大，“音域宽广”指能发出的基频范围宽，“音色甜美”指谐波成分（频谱）好听。

非线性振动：运动方程不是线性的，叠加原理失效，没有统一解法。单摆 \(\sin\theta=\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\cdots\)，只有小角度才是线性的；大角度时周期依赖振幅，接近 180° 时还会出现分岔。

混沌：确定性方程（如洛伦兹 1961 年的大气对流方程）中出现的貌似随机的运动，对初值极度敏感，初值 0.506 和 0.506127 算出的结果很快完全不同，即“蝴蝶效应”，所以长期天气预报不可能准确。它介于“由过去完全决定未来”的决定论和完全无规的随机运动之间：永不重复，但仍有规律。

课件作业（程守洙第7版）：10-8、10-15、10-17、10-18、10-21；振动合成 10-23、10-24、10-26、10-28。